简介
海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。
相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。
表达式为：\(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) ，其中 \(p = \frac{C} {2} = \frac{a + b + c}{2}\)。
在本文中，我将详细的为大家推导出海伦公式的相关证明过程，可以自信地说，是全网最详细的（不是最全面的），推导过程，制作不易，请认真观看。
推导
一般推导
来自wiki百科，不适用于初三蒟蒻
例如\(\Delta ABC\)中三边分别记作 \(a\)，\(b\)，\(c\)，推导过程如下
\({\displaystyle \begin{align} S & = \dfrac{1}{2} bc \sin A \\ & = \dfrac{1}{2} bc \sqrt{1 - \cos^2 A} \\ & = \dfrac{1}{2} bc \sqrt{1 - \left( \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \right)^2} \\ & = \dfrac{1}{4} \sqrt{4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2} \\ & = \dfrac{1}{4} \sqrt{4b^2c^2 - b^4 - c^4 - a^4 - 2b^2c^2 + 2a^2c^2 + 2a^2b^2} \\ & = \dfrac{1}{4} \sqrt{\left[(a+b)^2 - c^2\right]\left[c^2 - (a-b)^2\right]} \\ & = \dfrac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}. \end{align}}\)
简单推导
重点！！！
该部分由博主寻觅大量互联网文献，最终结合自己思路所创，所用知识皆为初中知识，便于理解，那么现在开始证明。
还是例如一个\(\Delta ABC\)。
Step1 构造高线
我们从三角形的一个顶点，比如顶点 \(A\)，向对边 \(BC\) 作一条垂线，这条垂线会将 \(BC\) 分成两段，我们设这两段的长度分别是 \(m\) 和 $ n$ ，那么 \(m+n\) 就等于\(BC\) 的边长，即 \(c\)。
则由三角形的面积公式：
\(\Delta ABC\)的面积 \(S\) 可以表示为：\(S=\frac{1}{2}\times a\times h = \frac{1}{2}\times BD \times AC\)。
Step2 结合勾股定理
初中生连勾股定理都不会就可以放弃数学这条道路了
在 \(Rt \Delta ADB\) 中，有 \(c^2=m^2+BD^2\)，则\(BD^2 = c^2-m^2\)；
在 \(Rt \Delta CDB\) 中，有 \(a^2=n^2+BD^2\)，则\(BD^2 = a^2-n^2\)。
又因为 \(BD^2 = BD^2\)，
所以我们就得到了\(\begin{align}
c^2 - m^2 &= a^2 - n^2
\end{align}\)。
Step3 将得到的式子变形
由 \(m+n = b\)，得 \(m = b-n\) ，代入原式：
\(\begin{align}
c^2 - m^2 &= a^2 - n^2 \\
c^2 - (b - n)^2 &= a^2 - n^2 \\
c^2 - (b^2 - 2bn + n^2) &= a^2 - n^2 \\
c^2 - b^2 + 2bn - n^2 &= a^2 - n^2 \\
c^2 - b^2 - 2bn &= a^2 \\
c^2 - b^2 - a^2 &= -2bn \\
n &= \frac{-c^2 + b^2 + a^2}{2b}
\end{align}\)
同理就可得：
$ \begin{align}
c^2 - m^2 &= a^2 - (b - m)^2 \
m &= \frac{c^2 - b^2 + a^2}{2b}
\end{align}$
Step 4 将得到的结果代回勾股定理
将 \(m = \frac{c^2-b^2+a^2}{2b}\) 带入由 \(BD^2 = c^2-m^2\) 得出的 \(BD = \sqrt{c^2-m^2}\) ：
\(\begin{align}
BD &= \sqrt{c^2 - m^2} \\
&= \sqrt{c^2 - \left(\frac{c^2 - b^2 + a^2}{2b}\right)^2} \\
&= \sqrt{c^2 - \frac{(c^2 - b^2 + a^2)^2}{4b^2}} \\
&= \sqrt{\frac{4b^2c^2}{4b^2} - \frac{(c^2 - b^2 + a^2)^2}{4b^2}} \\
&= \frac{\sqrt{4b^2c^2 - (c^2 - b^2 + a^2)^2}}{2b}
\end{align}\)
再将该式代回面积公式求值：
\(\begin{align}
S &= \frac{1}{2} \times BD \times AC \\
&= \frac{1}{2} \times b \times \frac{\sqrt{4b^2c^2 - (c^2 - b^2 + a^2)^2}}{2b} \\
&= \sqrt{\frac{1}{4} \left[b^2c^2 + \left(\frac{c^2 - b^2 + a^2}{2}\right)^2\right]} \\
&= \sqrt{\frac{1}{4} \left[b^2c^2 + \frac{(c^2 - b^2 + a^2)^2}{4}\right]} \\
&= \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{4b^2c^2 + (c^2 - b^2 + a^2)^2}{4}} \\
&= \sqrt{\frac{4b^2c^2 + (c^2 - b^2 + a^2)^2}{16}} \\
&= \frac{1}{4} \sqrt{4b^2c^2 + (c^2 - b^2 + a^2)^2} \\
&= \frac{1}{4} \sqrt{4b^2c^2 + c^4 - 2b^2c^2 + b^4 + 2a^2c^2 - 2a^2b^2 + a^4} \\
&= \frac{1}{4} \sqrt{a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2} \\
&= \frac{1}{4} \sqrt{(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c)}
\end{align}\)
相信到这里很多朋友已经看出来了，在引入一下 \(p = \frac{C} {2} = \frac{a + b + c}{2}\)，就能得到我们喜闻乐见的形式：
\(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
完结撒花
实际使用与进阶
在平面直角坐标系中，海伦公式也有自己的用武之地，因为只需要结合两点之间坐标距离公式便可得到三角形的三边长，所以，我们只需要知道三角形三个顶点的坐标就可以求出一个三角形的面积啦~
例如，已知\(\Delta ABC\)中\(A(x1,y1)\)，\(B(x2,y2)\)，\(C(x3,y3)\)。
那么，
\(a = BC = \sqrt{(x2-x3)^2 + (y2 - y3)^2}\)
\(b = AC = \sqrt{(x1-x3)^2 + (y1 - y3)^2}\)
\(c = AB = \sqrt{(x1-x2)^2 + (y1 - y2)^2}\)
\(\begin{align} p & = \frac{C} {2} \\ & = \frac{a + b + c}{2} \\ & = \frac{\sqrt{(x2-x3)^2 + (y2 - y3)^2} + \sqrt{(x1-x3)^2 + (y1 - y3)^2} + \sqrt{(x1-x2)^2 + (y1 - y2)^2}}{2}\end{align}\)
\(\begin{align} S & = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ & = \sqrt{p(p-\sqrt{(x2-x3)^2 + (y2 - y3)^2})(p-\sqrt{(x1-x3)^2 + (y1 - y3)^2})(p-\sqrt{(x1-x2)^2 + (y1 - y2)^2})}\end{align}\)
